a(n,k)  tabf head (staircase) for  A111786 (M_0 numbers: complete symmetric functions from elementary symmetric ones.)
   
  partitions of n  listed in Abramowitz-Stegun order p. 831-2 (see the main page for the ref.)

   n\k   1  2   3   4   5   6   7  8   9  10  11  12  13   14  15  16   17   18  19  20  21  22 ...  
        
   
   1     1  0   0   0   0   0   0  0   0   0   0   0   0    0   0   0    0    0   0   0   0  0 
    
   2    -1  1   0   0   0   0   0  0   0   0   0   0   0    0   0   0    0    0   0   0   0  0       
  
   3     1 -2   1   0   0   0   0  0   0   0   0   0   0    0   0   0    0    0   0   0   0  0      

   4    -1  2   1  -3   1   0   0  0   0   0   0   0   0    0   0   0    0    0   0   0   0  0  
 
   5     1 -2  -2   3   3  -4   1  0   0   0   0   0   0    0   0   0    0    0   0   0   0  0 
  
   6     -1  2   2   1  -3  -6  -1  4   6   -5   1   0   0   0   0   0    0    0   0   0   0  0

   7     1 -2  -2  -2   3   6   3  3  -4  -12  -4   5  10  -6   1   0    0    0   0   0   0  0   
  
   8    -1  2   2   2   1  -3  -6 -6  -3   -3   4  12   6  12   1  -5  -20  -10   6  15  -7  1   
   .
   .
   .

   n\k   1  2   3   4   5   6   7  8   9  10  11  12  13   14  15  16   17   18  19  20  21  22 ...       
 

#####################################################################################################################################################
  
 As row sequences for n=1..10:

 1.  [1], 

 2.  [-1, 1]

 3.  [1, -2, 1]

 4.  [-1, 2, 1, -3, 1]

 5.  [1, -2, -2, 3, 3, -4, 1]

 6.  [-1, 2, 2, 1, -3, -6, -1, 4, 6, -5, 1]

 7.  [1, -2, -2, -2, 3, 6, 3, 3, -4, -12, -4, 5, 10, -6, 1]
 
 8.  [-1, 2, 2, 2, 1, -3, -6, -6, -3, -3, 4, 12, 6, 12, 1, -5, -20, -10, 6, 15, -7, 1]

 9.  [1, -2, -2, -2, -2, 3, 6, 6, 3, 3, 6, 1, -4, -12, -12, -12, -12, -4, 5, 20, 10, 30, 5, -6, -30, -20, 7, 21, -8, 1]
 
10.  [-1, 2, 2, 2, 2, 1, -3, -6, -6, -6, -3, -6, -3, -3, 4, 12, 12, 6, 12, 24, 4, 4, 6, -5, -20, -20, -30, -30, -20, -1, 6, 30, 15, 60, 15, -7, -42, -35, 8, 28, -9, 1]

 .
 .
 .

#######################################################################################################################################

The row sums are : [1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...]

The unsigned row sums are: 2^(n-1) = A000079(n-1), n>=1.

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