a(k,m) tabf head (staircase) for A112692 (numerator polynomials in o.g.f.s for second-order Eulerian triangle columns) k\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 -1 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 -9 -70 163 -42 -72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 30 -123 -1110 8440 -18244 2423 43036 -53172 11232 8640 0 0 0 0 0 4 90 -792 -7425 137760 -771911 1624514 2262109 -21114844 51074797 -54783526 6214788 45596664 -40513824 7309440 3110400 . . . Row k=5 is: [630, -10278, -86841, 3685605, -41159454, 215788076, -263369506, -3883907854, 29380694826, -106720324998, 218874957987, -175014407423, -346902918314, 1320272715928, -1964388918528, 1464318207504, -226810253088, -505428221952, 370763412480, -58898534400, -15676416000] Row k=6 is: [2520, -69030, -404118, 44446227, -873117756, 8653230936, -38983886422, -125491641175, 3386698754908, -27642610507330, 136581368363566, -426850914769387, 635779207152972, 1239931298735380, -10824806288099794, 35393984209616575, -71860421293362628, 91187487624035932, -48543667898778416, -64102463684357040, 177369652123859520, -197896302008720064, 116792134365369600, -20808105988202496, -18424833231790080, 12221963657625600, -1750616727552000, -316036546560000] Row k=7 is: [22680, -971010, -1152774, 1010047329, -32493334356, 535959429768, -4823379562476, 8067204678940, 435520750933444, -7321665453376044, 68675486296659704, -436524751215740458, 1858912606736488044, -3895982816862510872, -12249123853098525332, 162279912245090447964, -873387766010725313548, 3154281261136784752094, -8138829491709257529906, 14039353681537979508337, -9498620970566745339752, -31029143822823749245344, 134700789208198328535488, -291709247386334094003616, 420342897493545802580736, -399794485325273831377152, 184535473615374550758912, 111273330385677763862784, -292850528505362773936128, 271428829071585009315840, -135604977182862028701696, 25237406389737244262400, 10356233039216050176000, -6715840092597780480000, 884244974351155200000, 114683342015692800000] Row k=8 is: [113400, -7186860, 42856632, 11046895092, -558060390639, 14199754261572, -213299215948302, 1441009135491024, 15866153169446701, -622651355258066700, 10123375569310297476, -110457800763506249176, 868007554245156531186, -4677369841376974719144, 11410672291185347267100, 80615741216694008274576, -1277648603740469241412758, 9802817969280095572909932, -53444151543494813771586888, 221136136710698248700455476, -682335505478963824133697699, 1351779681846592620749455236, -70479687316330282486839390, -12817035406284919073091426432, 64225309520825072272601831985, -203941312987792020273579013716, 479289657108848472541834744796, -845585810995972442193358723632, 1032122367824889686049949501152, -509936299628837702566125021056, -1221719012862922678972619599488, 4036040325632014447556868807168, -6774730548407654672637114925824, 7742415885231706793013138177024, -6054451627950751742965574931456, 2613415326390983774661089071104, 511628183563175375866091421696, -1841143824619608428792878399488, 1519678126429896520158086430720, -670022540511776499263628902400, 124608821130917621622374400000, 25193021608575717919948800000, -17391691036710286236057600000, 2139358109964901023744000000, 208081455753273016320000000] Row k=9 is: [1247400, -112140180, 1795951980, 234430822044, -18224702562681, 679979986130115, -15552090605412966, 200706104745453648, 119610315513220818, -74845712555147952418, 2066149829301331842432, -35739018996780165962052, 451707511216100280810877, -4247427219804026493875151, 27241467216256165674704430, -59109813122436640107789608, -1250444911771932561857496588, 22008749729986142680139344608, -221847885784616750087628423268, 1668078326013698507936033177460, -9895776288421716331569122952591, 46112204910814209648587553575349, -156261167162774899857503262568746, 248414271461241590599197912204480, 1257326472209323421939567400599634, -14041386657940136811190045356386586, 79349250272097881505268150190014488, -330777890892903717152051832632066060, 1093179290084742357341975352959035371, -2880302055636958830297055076400794697, 5754428419494300670307003399601875042, -6920635763059163188017965092018823592, -4512734004858965188949003651969254176, 54033355032480009407880162443055568784, -181382979930286739797954224928399702944, 419046036453145525873499631255727379712, -742278663562925504525442094874225702144, 1015405043099449582455463616318629026048, -999947736235047154930704635873974424064, 483209986735555853246306249874083960832, 514859752565517287118074338632646803456, -1632547588708554973995420424167968378880, 2327476051582945611007836201338266361856, -2251508808641075733088056476742590398464, 1523333386961823645812920273518079770624, -623406634394148244498602982658373844992, 4105265269242540299149038054549749760, 205239150196880176026755828373100953600, -160079780589142737422810535576993792000, 64181046677648496406585304175083520000, -11693658305611545463969865426534400000, -1139672421546025391658608099328000000, 945049991936776581586794577920000000, -110149067212630829256042086400000000, -8305945853012248337842176000000000] ########################################################################################################################################### The (signed) row sums give A112693: [1,4,48,2304,552960,796262400,8026324992000,647242847354880000,469742968896277708800000,...]. The unsigned row sums give A112694: [1,10,724,292900,938091536,27231431966688,6959702574344091776,18819707039266583212487424,...]. ##############################################################################################################################################