Rationals r(n) = A121000(n)/A121001(n), n>=0.

 r(n):= rI(p=3,n) = sum(C(k)/L(2*3)^(2*k),k=0..n), n>=0, with the Lucas number L(6)=18 and the Catalan

 numbers C(k):=A000108(k).
 
 r(n), n=0..30:

 [1, 325/324, 52651/52488, 34117853/34012224, 5527092193/5509980288, 596925956851/595077871104, 96702005009873/96402615118848, 125325798492795551/124937789194027008, 60908338067498638501/60719765548297125888, 19734301533869558876755/19673204037648268787712, 3196956848486868538038509/3187059054099019543609344, 2071628037819490812648983225/2065214267056164664258854912, 335603742126757511649135334453/334564711263098675609934495744, 108735612449069433774319848548497/108398966449243970897618776621056, 1957241024083249807937757273910091/1951181396086391476157137979179008, 5073168734423783502174666853976033077/5057462178655926706199301642031988736, 821853334976652927352296030344119322789/819308872942260126404286866009182175232, 798841441597306645386431741494484003358373/796368224499876842864966833760925074325504, 129412313538763676552601942122106408583859651/129011652368980048544124627069269862040731648, 83859179173118862406086058495124952762635597713/83599550735099071456592758340886870602394107904, 13585187026045255709785941476210242347547513839541/13543127219086049575968026851223673037587845480448, 4401600596438662849970645038292118520605396522866869/4387973218983880062613640699796470064178461935665152, 713059296623063381695244496203323200338074240516206263/710851661475388570143409793367028150396910833577754624, 308041616141163380892345622359835622546048071922059973041/307087917757367862301953030734556160971465480105589997568, 49902741814868467704559990822293370852459787651409546303401/49748242676693593692916390978998098077377407777105579606016, 16168488348017383536277437026423052156196971199056828056368631/16118430627248724356504910677195383777070280119782207792349184, 23573656011409345195892503184524810043735184008224857602104598017/23500671854528640111784159767350869546968468414642458961245110272, 15275729095393255686938342063572076908340399237329707743547167244017/15228435361734558792436135529243363466435567532688313406886831456256, 2474668113453707421284011414298676459151144676447412654487609587499549/2467006528600998524374653955737424881562561940295506771915666695913472, 801792468759001204496019698232771172764970875168961700054110786626935297/799310115266723521897387881658925661626270068655744194100676009475964928, 129890379938958195128355191113708929987925281777371795408766185870219898883/129488238673209210547376836828745957183455751122230559444309513535106318336]

 The numerators are A121000(n), n=0..30:

 [1, 325, 52651, 34117853, 5527092193, 596925956851, 96702005009873, 125325798492795551, 60908338067498638501, 19734301533869558876755, 3196956848486868538038509, 2071628037819490812648983225, 335603742126757511649135334453, 108735612449069433774319848548497, 1957241024083249807937757273910091, 5073168734423783502174666853976033077, 821853334976652927352296030344119322789, 798841441597306645386431741494484003358373, 129412313538763676552601942122106408583859651, 83859179173118862406086058495124952762635597713, 13585187026045255709785941476210242347547513839541, 4401600596438662849970645038292118520605396522866869, 713059296623063381695244496203323200338074240516206263, 308041616141163380892345622359835622546048071922059973041, 49902741814868467704559990822293370852459787651409546303401, 16168488348017383536277437026423052156196971199056828056368631, 23573656011409345195892503184524810043735184008224857602104598017, 15275729095393255686938342063572076908340399237329707743547167244017, 2474668113453707421284011414298676459151144676447412654487609587499549, 801792468759001204496019698232771172764970875168961700054110786626935297, 129890379938958195128355191113708929987925281777371795408766185870219898883]


 The denominators are A121001(n), n=0..30:

 [1, 324, 52488, 34012224, 5509980288, 595077871104, 96402615118848, 124937789194027008, 60719765548297125888, 19673204037648268787712, 3187059054099019543609344, 2065214267056164664258854912, 334564711263098675609934495744, 108398966449243970897618776621056, 1951181396086391476157137979179008, 5057462178655926706199301642031988736, 819308872942260126404286866009182175232, 796368224499876842864966833760925074325504, 129011652368980048544124627069269862040731648, 83599550735099071456592758340886870602394107904, 13543127219086049575968026851223673037587845480448, 4387973218983880062613640699796470064178461935665152, 710851661475388570143409793367028150396910833577754624, 307087917757367862301953030734556160971465480105589997568, 49748242676693593692916390978998098077377407777105579606016, 16118430627248724356504910677195383777070280119782207792349184, 23500671854528640111784159767350869546968468414642458961245110272, 15228435361734558792436135529243363466435567532688313406886831456256, 2467006528600998524374653955737424881562561940295506771915666695913472, 799310115266723521897387881658925661626270068655744194100676009475964928, 129488238673209210547376836828745957183455751122230559444309513535106318336]


 #############################################################################################################

 For details on this p-family (here p=3) and the other three p-families see the W. Lang link under  A120996.


 #############################################################################################################


 r(n) for n=10^k, k=0,1,2,3: (maple10, 15 digits):
 
 [1.00308641975309, 1.00310562001514, 1.00310562001514, 1.00310562001514]

 This should be compared with 

  the limit of the series CsnI(3):=sum(C(k)/L(2*3)^(2*k),k=0..infinity) with L(6) =18, is  

  18*(13 - 8*phi) = 18/phi^6 =  1.003105620014 (maple10, 15 digits) 

 
############################################ e.o.f. ############################################################